Coordinate Audit for the Paradoxical Sequence Benchmark

1.なぜこの監査が必要か

同じ Paradoxical Sequence の議論について、混同されやすい3つの異なる構成があるため、定義を固定して再検証。
Waiting Hall で自分たちの結論に、Rozier–Terracol と異なる論拠が出たため各定義にて再度検証した。

1. Rozier–Terracol（RT）の定義そのものを、Appendix C の occurrences (n, j, q) 上で計算した。
2. 自分たちの sampled-universe baseline。k-word は W = trace_escape(n, 1 << power)で、remaining_K はその word の内部で定義している。
3. RT550 overlay。RT の整数を odd-accelerated map で1まで再度歩かせ、remaining_K 座標で読み込む。

これらは別々の座標系で読む必要がある。「RT550 is A-like」のような文は、どの構成・どの counting mode（integer-level any-event / first-hit strict / occurrence-level）を指すかで真偽が変わる。
この README 及び HTML では、公表された各数値をその構成に固定して整理する。

2.座標系の一覧

重要ルール：Experiment 1 は RT を再現し、Experiment 2-A は自分たちの結果。
Experiment 3 は RT550 を自分たちの座標に overlay する。 これらをそれぞれ独立して純粋に検証した。

定義の再計算（自分たちのものは一切使わない）。
入力は1つの Appendix C occurrence (n, j, q)。map は奇数 n で T(n) = (3n+1)/2、偶数 n で T(n) = n/2。
有限区間 n, T(n), …, T^j(n) を再計算し、q は T^0(n), …, T^(j-1)(n) の中の奇数項の個数。RT paradoxical 条件は 3^q / 2^j < 1かつ T^j(n) ≥ n。 remaining_K・trace_escape・A-face 座標はこの実験のどこにも現れない。

グローバル検算（すべて pass）：

• occurrences: 593; distinct starting integers: 550; distinct duplicated integers: 40
• 再計算した q が全行で Appendix C の q と一致: True
• 係数 3^q / 2^j < 1 が全行で成立: True
• RT paradoxical 条件が全行で成立: True
• cyclic rows: 0; acyclic rows: 593; T^j(n) − n = 1 の near-cycle rows: 20
• 11 を含む行: 5; 103 を含む行: 588
• 奇数で始まり奇数で終わる行: 148

グループ (j, q) ごと：

ステータス。 これはクリーンな RT baseline である。これらの整数についての後続の remaining_K・A-face・64-95 -> 32-63 の記述は、再現された occurrences を別座標へ投影する別ステップとしてのみ導入すべきものであり、その結果は Experiment 3 であって Experiment 1 ではない。

これは Paradoxical Sequence 章の本体座標であり、RT550 を一切使わない。
universe は自分たちの sampled long-word / final-state 定義 universe。word は W = trace_escape(n, 1 << power)、その word の内部で remaining_K_before = sum(W) − sum(W[:pos])、 remaining_K_after = remaining_K_before − transition_k。
64-95 のような band 名は、整数値ではなく W の中の remaining_K band を指す。

3つの対象遷移にわたる inverse-sign observation（from-band の mass 不足と、正の conditional pass 超過の同居）：

64-95 -> 32-63 の深掘り（このサンプルで最もクリーンな paradoxical 遷移）：conditional 超過は START_IN_LAYER route に集中し（actual pass 0.136904 対 iid 0.132609、conditional delta 0.00429505）、INFLOW_FROM_96-127 ではない（conditional delta -0.000589567）。
START_IN_LAYER の中で最も読み取れる正の成分は transition_k = 1 と短い all-1 の局所文脈である。 pre_k_window_3 = 1,1,1 と local_rolling_k_window_4 = 1,1,1,1。最強の joint cell は transition_k=1 & pre_k_window_3=1,1,1：actual pass 0.122009 対 iid pass 0.0924706、conditional delta 0.0295384。反対パターン（transition_k=2・1,1,2・1,1,3+）は iid-enriched な pass、または actual-stay に結びつくパターンとして読める。

ステータス。 これは自分たちの universe 上で再現されるため、章の 64-95 -> 32-63・START_IN_LAYER・transition_k=1・pre111・A face に関する主張は RT550 に依存しない。low-support 行は CSV でフラグ済みで、仮説材料のみである。

これは overlay としての検証である。 RT の定義や trace_escape の窓ではない。 各 RT550 整数を odd-accelerated map で1まで歩かせ（odd_core は先頭の2の冪を剥がし、original_n_strict は先頭に v2(n) を付す）、生成された k-word 上で remaining_K を計算する。
RT の (j,q) 有限区間を窓としては使わず、RT550 行は power 箱を持たないため trace_escape は適用不可である。既存の overlay CSV に対する再計算では、mismatch 行は 0 である。

counting mode を分けて読む。 同じ overlay でも、hit をどう数えるかで数値は大きく変わる。

original_n_strict は、わずかに異なる値で同じ描像を与える（例：hits_full_A_signature 365/550 = 0.663636; first_hit_strict_64_to_32 5/550 = 0.009091; A_events_over_focus_events 365/19137 = 0.019073）。

これが支持する狭い結論。
RT550 は、A-like 64-95 -> 32-63 signature と integer-level any-event で高い overlap を示す。ほとんどの整数が、odd-accelerated-to-1 の経路のどこかに 何らかの A-like 64-95 -> 32-63 イベントを持つ（odd_core で 377/550）。
これは、最初の 64-95 イベントが通常 A-like である（first-hit strict は 7/550 のみ）、A-like イベントが全 focus events の中で一般的である（occurrence-level は 377/18882 ≈ 2.0%）、あるいは RT 自身の (j,q) 区間がこの remaining_K 窓と一致する、といったより強い言明は支持しない。
もう一点。32-63 に入る 545 行のうち、最初の 32-63 -> 16-31 exit が R = 32 で起こるのは 545/545 ―― この overlay では 32-63 内部は RT550 行を区別せず、この座標で見える構造は64-95 -> 32-63 の入口にある。

6.比較できることと注意点

比較できること（それぞれの座標に固定して）。

• (Exp 1) Appendix C の occurrences は RT の定義のもとで厳密に再現される：593/593 が 3^q/2^j < 1 と T^j(n) ≥ n を満たし、cyclic は 0。
• (Exp 2-A) 自分たちの sampled universe では、64-95 -> 32-63 が inverse-sign パターンを示し、 conditional 超過は START_IN_LAYER × transition_k=1 × pre111 が担う ―― RT550 なしで成り立つ結果。
• (Exp 3) RT550 は、odd-accelerated-to-1 の remaining_K 座標へ overlay すると、A-like 64-95 -> 32-63 イベントと integer-level any-event で高い overlap を示す（odd_core で 0.685、original_n_strict で 0.664）。

言えないこと（追加作業なしには）：

• 3つの構成が「同じ remaining_K 座標」であること ―― そうではない。trace_escape 窓を使うのは Exp 2-A だけ、1まで行くのは Exp 3 だけ。
• RT550 と A-like signature の関係は、counting mode と一緒に述べる。first-hit strict は 7/550、occurrence-level は ≈ 2.0% なので、無条件の文は誤解を招く。
• Exp 2-A が RT を検証する、あるいは RT が Exp 2-A を検証すること ―― 異なる universe 上で計算されており、対応するのは Exp 3 の overlay を介してのみ。
• Waiting Hall の miss/control 構造との比較は、さらに別の有限窓を使うため、別途の座標監査で扱う。
• 有限テーブルでの enrichment は、観察された偏りとして扱う。

7.原稿のための安全な言い回し

推奨する文：

Experiment 1 は、Rozier–Terracol Appendix C の occurrences を、その定義だけに従って再現する実験である。自分たちの座標は使わない。

Experiment 2-A は、自分たちの sampled universe 上で行う独立した座標解析である。ここでは W = trace_escape(n, 1 << power) と remaining_K_before = sum(W) − sum(W[:pos]) を使う。Paradoxical Sequence 章の主張はこの実験に基づき、RT550 は使わない。

Experiment 3 は、再現された RT550 の集合を odd-accelerated remaining_K-to-1 座標へ重ねる overlay である。これは overlay であって、RT の (j,q) 区間でも、trace_escape 窓でもない。

integer-level any-event count では、RT550 はこの overlay 内で A-like な 64-95 -> 32-63 signature と高い重なりを示す（odd_core で 377/550）。一方、first-hit strict count は小さく（7/550）、occurrence-level share は約 2.0% である。RT550 と A face について述べるときは、counting mode と一緒に示す。

これらの解析は異なる有限窓を使っているため、対応関係を述べるときは座標監査を添える。

表現上の注意：「the same remaining_K coordinate」は限定を付ける。「RT550 is A-like」は counting mode と一緒に述べる。英語で書く必要がある場合でも、suggests・is enriched in・overlays onto・corresponds under this projection のような観察にとどまる表現を優先する。

8.元になったレポートとファイル