コラッツ軌道の前半から見えるWaiting Hall分類

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コラッツ予想の数の動きについて、前半だけを見ても、その後の動きに何か違いが出るかを調た。

ただし、前半だけで後の動きを正確に当てられたわけではない。違いが見えた部分もあれば、よく分からなかった部分もあり。

すべての数を調べた結果でも、「なぜそうなるか」を発見した結果でもない。今回調べた範囲で見つかった観察である。

ここまでが短い説明となる。次の「調査の要約」から、使った指標・数値結果・限界・CSVへ順に深くなる。

02調査の要約

この調査では、3つの小さな監査を行った。
第一に、軌道の前半から得られる3つの記述子を比較した。その結果、cumulative_log_drift が、調べた5つの未来指標すべてに対して最も強い対応を示した。
第二に、この対応が、現在値 n_t を共通の基準に使ったために生じた見かけの結果ではないかを調べた。その結果、future_net_log_change と future_max_log_drawdown では、共通基準だけでは説明できない対応が残った。
第三に、軌道の前半から得られた情報を、同じ軌道の後ろの有限区間で観測された動きと比較した。その結果、後ろの区間で下降傾向を示した一部の軌道には、前半にも対応する特徴が見られた。この限定的な対応を、partial_prefix_shadow（前半に現れる部分的な影）と呼ぶ。

後ろの有限区間で観測された動きには過去のWaiting Hall分析データを使用。

ここで示しているのは有限データ内で観測された対応であり、証明、収束予測、因果機構の提示ではない。

03何と何を比較したか

後ろを何ステップ調べるかを表す長さ H は、4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 40, 48, 64, 80, 96, 128 の14通りに固定した。前半の指標には、remaining_K、steps-to-1、総軌道長、terminal suffixなど、最終到達に関する情報を使用していない。feature側 leakage flag count: 0。

調べた問いは一つだけである。後ろの有限区間で観測された動きの違いが、軌道の前半から計算した指標にも一部現れるか。

04入力と重なり

過去のWaiting Hall分析で作成した分類データとは、74,116件のevent keyを接続できた。ただし、軌道の前半との比較に実際に使えたのは、簡易監査サンプルと重なる532件だけである。この532件は、14通りの長さ H に展開すると3,382行になる。
以下の結果は、すべてこの重複部分だけを対象としている。新しい標本の追加や抽出は行っていない。

05主な結果

4.1  軌道の前半から計算した指標の比較

軌道の前半から計算した3つの指標を比較すると、調べた5つの未来指標すべてで cumulative_log_drift が最も強い対応を示した。

符号方向は一貫している。prefix局所ドリフトが高いほど future_net_log_change は低く（negative share 0.99）、future_max_log_drawdown は大きい（positive share 0.99）。future_drop_below_start は弱く、後回しである。

4.2  現在値を共通の基準にした影響の確認

前半の指標と未来指標は、どちらも現在値 n_t を基準にしている。そのため、同じ基準を使っただけで対応が生じた可能性を調べた。未来区間の内部だけで計算する形に変えても、ドリフトとの対応はほぼそのまま残った（ほぼすべての H で絶対trend比 ≈ 1）。

したがって、net change / drawdown 族については、共有参照点だけでは説明として十分ではない。他の2記述子は unresolved のままであり、中心的な解釈対象とはしない。

4.3  後ろの有限区間で観測された動きとの照合

判定は partial_prefix_shadow（前半に現れる部分的な影）である。後ろの区間で下降傾向を示した drift_down の軌道では、前半の指標と、その後の正味対数変化の両方が低かった（fold-wise stable rows: 15）。一方、最大drawdownでは同じ対応が一貫しなかったため、分類全体が前半だけで見えるという判定ではない。

06結果の読み方

• cumulative_log_drift は、軌道の終わりを見ず、前半の情報だけから計算する指標である。本サンプルでは、この値が複数の未来指標と一貫して対応していた。
• この対応は、現在値 n_t を共通の基準に使ったことだけでは説明できなかった。未来側だけでの再計算、現在状態を揃えた比較、現在状態の影響を除いた比較、ランダムな並べ替えとの比較を行っても、 future_net_log_change と future_max_log_drawdown には対応が残った。
• 後ろの有限区間で下降傾向を示した一部の軌道では、前半の cumulative_log_drift と、その後の future_net_log_change の両方が低かった。つまり、後ろの区間で観測された動きの一部は、軌道の前半にも対応する特徴を持っていた。
• ここでいう入口側に見える部分的な影とは、後ろで観測された動きの違いが、前半の指標にも一部現れていたという意味である。対応が見られたのは1つの群と2つの指標に限られ、別の1指標では明確ではなく、比較対象も小さな重複部分に限定される。

07調査上の限界

• 比較できたデータが少なく、群の偏りも大きい。照合に使えたのは、接続を確認できた532件のevent key（14通りの長さ H に展開後、3,382行）である。
  その多くは、後ろの区間で下降傾向を示した軌道（drift_down）だった。direct_to_exit は2件、no_exit_layer_observed は10件しかないため、この2群について確かな比較はできない。
• 今回は簡易的な監査である。使用したのはseed 1–10と50回のbootstrapで、residueやstrideも代表的な条件だけを確認した。共有参照値の影響を調べる監査では、seed 1のデータだけを再利用している。
• 対象範囲が限られている。調べたのは、奇数の original_n ≤ 1,000,000 を対象とした、奇数加速写像の部分標本である。全整数を調べた結果ではない。
• 現在値 n_t の影響を完全には除けていない。未来指標とprefix記述子の両方が、現在値 n_t と関係している。今回の監査によって、共通の基準値だけでは説明できない対応も確認できたが、定義上の結びつきが完全になくなったわけではない。
• 独立した再現実験ではない。公開されているlight CSVには集計値しかなかったため、同じseedとsampleから行単位の値を再生成した。既存のseed 1の結果とは28件すべて一致したが、新しい独立標本での確認ではない。
• record_age と above_start_dwell については、共有参照値の影響を除いた後も判断できず、unresolved のままである。

08この結果が意味しないこと

• コラッツ予想の証明、反証、部分的な証明ではない。また、最終的に1へ収束するかどうかを予測するものでもない。今回の未来指標には、最終的な到達結果を含めていない。
• 因果的な仕組みや、「下降圧力」「平均回帰」「復元則」を示した結果ではない。確認できたのは、有限標本内での対応である。
• cumulative_log_drift 自体を新しい理論や新しい量として提案するものではない。この値は、一般的なドリフト量や対数高さの記述に近い。今回は、軌道の前半と複数の有限未来指標を比較するための共通の基準として使用した。
• 軌道の前半だけで、後ろの有限区間における動きの分類全体を再現できるという結果ではない。確認できたのは、小さな重複標本において、後ろで下降傾向を示した軌道の一部が、前半にも対応する特徴を持っていたことだけである。
• partial_prefix_shadow の結果を、過去のWaiting Hall分析で作成した分類データ全体、drift_down 以外の群、または future_max_log_drawdown に広げて解釈することはできない。

09監査・CSV・コード

このレポートでは既存の簡易監査結果を再利用した。標準版の追加実行、新しい未来指標の追加、bootstrap回数の増加、Waiting Hall分類の変更は行っていない。

10参考用語

• 日本語対応一覧
• 用語一覧
• コラッツ構内探索図
• 捕まり損ねマップ