Boundary-front geometry and finite trajectory atlas
waiting-hall 解析から派生した、有限サンプルの観察ノート（日本語版）
control・miss・front・flow といった語は、そのテーブル中の行や状態に付けた記述的な名前である。語彙一覧へ。
観測された加速軌道の 有限サンプル（finite-sample）座標軌道を作る試みである。
collatz-waiting-hall との関係本ノートは Waiting Hall の作業からの派生（derivative）である。Waiting Hall とは別のノートとして扱いう。
collatz-waiting-hall は、待合広場の中で観測された miss（捕まるはずの場所で、いったん捕まりそこねた行）を、どの座標で切り出せるかを調べるノートであった。そこでは、位置の条件と動きの形の条件を組み合わせると、観測された miss がちょうど切り出せること P_pos ∩ S_shape = M に至った。S_shape \ M を出発点にする。焦点は、選別条件ではなく、それらの軌道がどの帯をどう通るかである。以前の作業は信号を分離する事、本ノートは行がどこを通るかの座標地図を構築する事である。分類から軌道地図へ移動する。
この章は観察とし解釈は §4 に分ける。
前章は、位置条件 P_pos と形条件 S_shape を組み合わせると、観測された miss の集合 M がちょうど切り出せる、という結果で終わっていた P_pos ∩ S_shape = M 。
ただし、形条件 S_shape だけを見ると、228 件の miss をすべて含む一方で、miss ではない形だけ見ると miss と同じ候補だが、位置が違ったため miss にはならなかった 47 件の行も含んでいた（S_shape \ M）。
本ノートでは、この 47 件の非miss行を主な出発点とし、対比として、3段階の入りそこね連鎖を持つ 120 件の miss 行（depth-3 miss）を見る。
この47件は、出口からの距離で見ると、ちょうど3つの位置（35:27, 36:12, 37:8）に集まっている。また、remaining_K_before も狭い範囲
（99:27, 100:10, 101:7, 164:2, 165:1）に収まる。全件が drift ラベルであり、全件が max_avoidance_depth = 2 である。
さらに、動きの形で見ると、この47件は miss 側の形と対応している。たとえば、exit_distance 35 にある非miss行 3->30 は、 exit_distance 3 にある miss 行 3->30 と同じ形を持ち、
transition_k = 5 も一致する。
47件の非miss行と、3段階の miss 行は、どちらも
16-31:avoid > 8-15:avoid という下流側の経路を通り、
その後 4-7 で捕捉される。
違いはその一つ手前にある。3段階の miss 行は、 32-63 > 16-31 > 8-15 という3つの帯を含む連鎖を持つ。一方、47件の非miss行で見える連鎖 16-31 > 8-15 である。
ただし、47件の非miss行が 32-63 の段階を欠いているわけではない。 32-63 のイベント自体は持っており、違うのはその分類である。
32-63 では3つの記述子を分けて扱う ―― 分離するのは2つだけ32-63 の記述子 | controls（47） | depth-3 miss（120） | ここで分離する？ |
|---|---|---|---|
| local event classification | avoid_then_caught | avoid_then_caught | no |
| chain status | avoid_then_caught | avoid | yes |
| boundary-front position | 下端、主に R=32 -> 29（44/47） | 高front、主に R=35/36/37 -> 31/30 | yes |
local event classification は両群とも同一なので分離しない。分離するのは chain status と boundary-front position 。
controls は last_before_exit_distance ∈ {0,1}（47/47）、depth-3 miss は last_before_exit_distance ∈ {2,3,4,5,7,8}（120/120）。この座標は最終的なバンド位置を境界に揃えて表現し直したもの（last_before_exit_distance = last_before_R − band_lower）だ。
front の表示（display）座標としては有用だが、last_before_R から独立していない。
最初の 16-31 の形は部分的にしか重ならず、prefix 分布は目に見えて異なる。
両群とも4-7 捕捉で終わりるが、最終状態の混合は異なる（controls は caught 45/47、 depth-3 miss は avoid_then_caught 115/120）。ペアリングの質もこれを裏付ける。 8-15 の entry shape は 47/47、4-7 の entry shape は 47/47 で一致するが、16-31 の entry shape の一致は 2/47、selected shape の一致は 1/47 である。
miss だけに注目するのではなく、すべてのバンドを「境界からどのくらい離れているか」という見方で整理し直した。
すると、下端に近い行・出口に近い行・さらに奥にある行という前面クラスは、 miss イベントが観測されないバンドも含め、十分な行数を持つすべてのバンドに現れた。
一方で、miss と同じ形を持つ行が現れるのは
32-63（159件）、64-127（97件）、128-255（19件）に限られた。また、行の状態をどれだけきれいにまとめられるかを見ると、境界からの位置による分類が、局所的なイベント分類よりもよく効いたのは
32-63 バンドだけであった。
つまり、miss だけを見るのをやめて、全バンドで「境界からどのくらい離れているか」を見直すと、miss と特にきれいに結びつくのは 32-63 帯域だった。
| band | rows | miss rows | 現れる front クラス | front は local class より chain status をよくまとめるか？ |
|---|---|---|---|---|
4-7 | 2581 | 0 | lower | no（0.603 vs 1.000） |
8-15 | 2744 | 0 | lower, near | no（0.980 vs 0.983） |
16-31 | 2744 | 0 | lower, near, deeper | no（0.870 vs 0.870） |
32-63 | 2489 | 159 | lower, near | yes（0.991 vs 0.885） |
64-127 | 1754 | 53 | lower, near | no（0.941 vs 0.984） |
128-255 | 241 | 16 | lower, near | no（0.714 vs 1.000） |
256-511 | 3 | 0 | lower | no（0.667 vs 1.000） |
この有限テーブルで検証し、支持されなかったもの
transition_k で miss-only（偽；同じ47件が残る）transition_k 単独で controls と miss を分離（偽）32-63 の分岐を説明（偽；両方 avoid_then_caught）32-63 stage を欠く（偽；存在し、分類が違うだけ）；両群は 16-31 直後に即合流（不支持）32-63 は唯一（不支持 ―― contrast が最も明瞭なのがそこであって、そこだけに存在するわけではない）。後続の監査は「この行は miss か？」を問うのを止め、同じ有限テーブルの上で軌道を route や 数値経路 として描き視点の変更した。
各軌道を状態 band|boundary_front|chain_status 上の順序付き route として扱い（連続する重複は圧縮）、 2,750 trajectories と 144 の異なる compressed routes を得た。最頻の route（64-127 … -> 4-7|…|caught）は 1,081 軌道（prob 0.393）を占める。
route family は形を要約する。capture_sink_4_7（105 routes, 2,581 trajectories）、branch_at_32_63（114 routes,
2,489 trajectories）、avoid_channel（85, 2,360）、near_front_avoid_route（107, 2,206）、upstream_mixed_64_127（76, 1,754）。
高エントロピーの prefix が 32-63 にあり、 32-63 は単一の特別な点というより分岐する交差点のように読める。
隣接する stage 行を state_t -> state_{t+1} に変換すると、9,806 の観測隣接遷移が 21 の source states と 17 の destination states にまたがって得られる（状態コードは band × boundary_front × chain_status）。
最大の edge は下向きのコンパクトなバンドマップを作る（例：
16-31|near_exit_front|avoid -> 8-15|lower_edge_front|avoid が prob 0.974。 32-63|lower_edge_front|avoid_then_caught -> 16-31|near_exit_front|avoid が 0.760）。分岐は少数の 32-63 状態に集中し、4-7 が主要な捕捉側の受け皿層である。
意味ラベルを減らし 数値経路（R_before・R_after・R_drop・ transition_k・exit_distance・remaining_K_before）を保つと、 2,750 の trajectory traces が 12,556 の numeric stage rows から得られる。
終端そろえの中央値により、miss / control の trace がどこで分かれるかを問える。コンパクトな gradient signature は、 miss の trace が異なる終端形（中央値 exit_distance_slope = -0.800、k_variation = 7.0）を control/other（0.100、5.0）に対して持つことを示す。ここで exit_distance は front ラベルではなく path に沿った段階的な座標として読め、32-63 は単独の対象というより、remaining-K の trace が十分大きく複数の近接 numeric 形が見える領域のように見える。
各 miss から対応する control を終端そろえの index ごとに引くと、210 の miss/control ペアと 1,173 の aligned pair-step rows が得られる。差は終端 index（-2, -1, 0、いずれも中央値 0）でゼロへ収束し、見える分離はより手前のステップ（-4・-3）にある。これは別の経路クラスというより、共有された道の局所変形として読める。
同じ数値行を使っていても、そろえ方を変えると見えるものが変わる。ここでは、終端ステップ・開始ステップ・exit_distance・R_before でそろえて比べた。
終端でそろえると、最後のステップが同じ場所に集まって見える。
開始でそろえると、入口側でどこから分かれるかが見える。 exit_distance や R_before でそろえると、
時間順の軌道ではなく、同じ座標にいる行どうしを比べる見方になる。単一の座標スライスで見た最大差 28.00 は、exit_distance でそろえた座標 0 に現れる。
要点：miss と control の差は、どの座標をものさしにするかにも部分的に依存する。
32-63 では分かれる。そのため、両者を混ぜると分岐を誤って記述することになる。miss ではなく drift に落ちている。32-63 の分岐は、境界からの位置と、連鎖上の状態の組で最もよく記述できる。異なる局所ラベルによる分岐ではない。32-63 は分岐する交差点のように見える。 4-7 は捕捉側の受け皿であり、miss と control の差は、共有された下向きの道に生じる局所的なずれとして見える。32-63 だけに固有の現象ではなく、境界に揃えた座標で見える帯の出方そのものかもしれない。これらは解釈であり、機構・原因・全整数への一般化を強く主張するものではない。
コラッツ予想を証明しているのではなく、観測された加速軌道の 有限サンプル座標アトラスを作っている。
We do not prove the Collatz conjecture; we construct a finite-sample coordinate atlas of observed accelerated trajectories.
本ノートが記録する進展は視点の変更 ―― miss-vs-background の分類から、有限軌道アトラス（route・flow・数値経路・座標スライス）へ ―― であって、強く主張するものではない。
control・miss・front・flow は記述ラベルのみ。control は実験的統制ではなく、flow は物理的なベクトル場ではなく、front は境界に揃えた座標クラスである。last_before_exit_distance = last_before_R − band_lower は表示のための再表現であり、新しい変数ではない。collatz-waiting-hall の派生であり、merge ではない。 Waiting Hall 章や Paradoxical-Sequence 章を改変するもではない。32-63 split / boundary-front):